CHUYÊN ĐỀ
BÀI GIẢNG CẤP SỐ CỘNG
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm cấp số cộng.
+ Nắm được công thức tổng quát, tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
+ Biết được số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
 Kĩ năng
+ Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, công sai, số
số hạng, tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.
+ Liên hệ được kiến thức về cấp số cộng để giải những bài toán thực tế.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là

 un 

là cấp số cộng  n  2, un  un 1  d .

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Định lí 1

Nếu  un  là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng
hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là uk 

uk 1  uk 1
.
2

Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập th

Bài giảng cấp số cộng

CHUYÊN ĐỀ
BÀI GIẢNG CẤP SỐ NHÂN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm vững khái niệm cấp số nhân
+

Nắm được tính chất 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân

+ Nắm được công thức tổng quát, công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
 Kĩ năng
+

Nhận biết được một cấp số nhân dựa vào định nghĩa

+

Tìm được yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, tổng n số hạng
đầu tiên, công bội, số số hạng của cấp số nhân

+

Áp dụng tính chất cấp số nhân vào các bài toán giải phương trình, chứng minh đẳng thức, bất
đẳng thức

+ ứng dụng vào các bài toán thực tế

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy sô (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích
của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân
Nếu  un  là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi un 1  un .q với n  *
Đặc biệt:


Khi q  0 , cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0,..., 0,...



Khi q  1 , cấp số 

Bài giảng cấp số nhân

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. DÃY SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Biết được thứ tự các bước giải toán bằng phương pháp quy nạp.
+

Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, tính chất đơn điệu và bị chặn của dãy số.

+ Nắm được phương pháp giải các dạng bài tập của dãy số như tìm số hạng tổng quát, xét tính
tăng, giảm và bị chặn.
 Kĩ năng
+

Chứng minh được các bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.

+

Biết cách xác định dãy số.

+

Xét được tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số.

+ Tính được tổng của một dãy số.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phương pháp quy nạp toán học

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n)

Để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi giá trị nguyên đúng với mọi số nguyên dương n  p thì:
dương n, ta thực hiện như sau:

+) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với
n = p.



Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.



Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương nguyên dương bất kì n  k  p và phải chứng

n = k tùy ý

 k  1 ,

+)

Bài giảng phương pháp quy nạp toán học, dãy số

CHỦ ĐỀ CẤP SỐ NHÂN
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số
hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q. Khi đó, q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Tức là u2  q.u1 ; u3  q.u2  q 2 .u1 ; u4  q.u3  q 3 .u1...
2) Số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân  un  có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát u n được xác định bởi công
thức
un  q n 1.u1 với n  2

3) Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Trong một số cấp số nhân, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình nhân của hai số hạng
đứng kề với nó, nghĩa là uk  uk 1.uk 1 hay uk2  uk 1.uk 1
Chú ý: a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì ac  b2
4) Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

qn 1
Cho cấp số nhân (un). Đặt Sn  u1  u 2  u 3  ...  u n . Khi đó Sn 
.u1
q 1
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho cấp số nhân  u n  với u1  3, q 
A. u5 

3
32

B. u5 

1
. Tính u5
2

3
16

C. u5 

3
10

D. u5 

15
2

Lờ

Tài liệu chủ đề cấp số nhân

CHỦ ĐỀ DÃY SỐ
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương  * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là
dãy số). Kí hiệu:

u:  

n  u n

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u2 , u3 ,..., un ,..., , trong đó un  u  n  hoặc viết tắt là

 un  , và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
2) Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M  {1, 2,3,..., m} với m   * được gọi là một dãy số hữu hạn.
3) Dãy số tăng và dãy số giảm
+) Dãy số  un  được gọi là tăng nếu un1  un , n   * .
+) Dãy số  un  được gọi là giảm nếu un1  un , n   *
4) Dãy số bị chặn
+) Dãy số  un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un  M , n   * .
+) Dãy số  un  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un  m, n   *
+) Dãy số  un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số M, m
sao cho m  un  M , n   * .

 Các dấu " =" nêu trên không nhất thiế

Tài liệu chủ đề dãy số

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n  N* thì ta thực hiện theo các bước sau đây:
 Kiểm tra mệnh đề đúng với n  1 .
 Giả sử mệnh đề đã đúng với n  k ; đưa ra được biểu thức của P  k  ; ta gọi là giả thiết quy nạp.
 Với giả thiết P  k  đã đúng, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n  k  1 .
2) Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n ≥ p; (p là số một số tự nhiên) thì ta thực hiện
như sau:
 Kiểm tra mệnh đề đúng với n  p .
 Giả sử mệnh đề đã đúng với n  k ; đưa ra được biểu thức của P  k  ; ta gọi là giả thiết quy nạp.
 Với giả thiết P  k  đã đúng, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n  k  1 .
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức sau đúng với mọi số tự nhiên n dương:
a) 1  2  3  ...  n 

n  n  1
.
2

b) 12  22  32  ...  n 2 

n  n  1 2n  1
.
6
Lời giải:

a) 1  2  3  ...  n 

n  n  1
, 1
2

+) Với n  1 thì ta có 1 

1.2
 1 đúng.
2

+) Giả sử 1 đúng với n  k , khi đó ta có 1  2  3  ...  k 



Tài liệu chủ đề phương pháp quy nạp toán học

CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Dãy số có giới hạn hữu hạn
a. Giới hạn hữu hạn
 lim un  0  un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 Dãy số  un  có giới hạn là L nếu: lim un  L  lim  un  L   0
Chú ý: Ta có thể viết gọn: lim un  0, lim un  L.
b. Giới hạn đặc biệt
lim

lim
lim

1
0
n

lim C  C , C  

lim q n   nếu q  1

1
0
n

lim q n  0 nếu q  1

lim n k  , k  *

1
0
n

3

lim

1
 0, k  *
nk

c. Định lí về giới hạn
 Định lí 1: Nếu hai dãy số  un  và  vn  cùng có giới hạn thì ta có:
+) lim  un  vn   lim un  lim vn
+) lim

un lim un
(Nếu lim vn  0 )

vn lim vn

+) lim  un .vn   lim un .lim vn
+) lim  k.un   k.lim un ,  k   

+) lim un  lim un
+) lim 2 k un  2 k lim un (nếu un  0 ) (căn bậc chẵn)
+) lim 2 k 1 un  2 k 1 lim un (căn bậc lẻ)

+) Nếu un  vn và lim vn  0 thì lim un  0.

 Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba dãy số  un  ,  vn  ,  wn  và L  .
Nếu un  vn  wn ,   * và lim un  lim wn  L thì  vn  có giới hạn và lim vn  L.
 Định lí 3: Nếu

Tài liệu chủ đề giới hạn dãy số

CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng
số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Khi đó, số d được gọi là công sai của cấp số
cộng.
2) Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công
thức un  u1   n  1 d với n  2 .
3) Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng
đứng kề với nó, nghĩa là uk 

uk 1  uk 1
với k  2 .
2

Chú ý: a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì a  c  2b .
4) Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng  un  . Đặt Sn  u1  u2  u3  ...  un . Khi đó S n 

n  u1  un 
.
2

Chú ý: Vì un  u1   n  1 d nên công thức trên có thể viết lại là S n  nu1 

n  n  1
d.
2

Chứng minh: Gọi u1 , u2 , u3 ,..., un lần lượt là các số hạng của cấp số cộng. Ta có

S n  u1  u1  d  u1  2d  

Tài liệu chủ đề cấp số cộng

I. Ph  ng pháp qui n  p toán h  c     ch  ng minh m  nh      ch  a bi  n A(n) là m  t m  nh       ng v  i m  i giá tr    nguyên d  ng n, ta th  c hi  n nh    sau:    B  c 1: Ki  m tra m  nh       ng v  i n = 1.    B  c 2: Gi    thi  t m  nh       ng v  i s    nguyên d  ng n = k tu         1), ch  ng minh r  ng m  nh       ng v  i n = k + 1.  Chú ý:   N  u ph  i ch  ng minh m  nh      A(n) là    ng v  i v  i m  i s    nguyên d  ng n     p thì: +      b  c 1, ta ph  i ki  m tra m  nh       ng v  i n = p; +      b  c 2, ta gi    thi  t m  nh       ng v  i s    nguyên d  ng b  t kì n = k     p và ph  i ch  ng minh m  nh       ng v  i n = k + 1.  Baøi 1:   Ch  ng minh r  ng v  i m  i n      N*, ta có: a) 1 + 2 + ... + n =   (   1)  2  n n   +   b)   2   2   2   (   1)(2   1) 1   2   ...   6 n n   n n   +   +  +   +   +   =  c)  2  3   3   3   (   1) 1   2   ...   2 n n n       + +   +   +   = ê          d)   2  1.4   2.7   ...   (3   1)   (   1) n   n   n n +   +   +   +   =   +  e)   (   1)(   2)  1.2   2.3   ...   (   1)   3 n n   n n n   +   +  +   +   +   +   =   f)   1   1   1 ... 1.2   2.3   (   1)   1 n n n   n  +   +   +   = +   +  Baøi 2:   Ch  ng minh r  ng v  i m  i n      N*, ta có: a)   2   2   1 n   n >   +   (n      3)   b)   2 2   2   5 n   n +   >   +  c)   2   2 1   1   1 1   ...   2 2   n n  +   +   +   <   -   (n      2)   d)   1 3   2   1   1 .   ... 2 4   2   2   1 n n   n  -   <   +  e)   1   1 1   ...   2 2   n n  +   +   +   <   f)   1   1   1   13  ... 1   2   2   24 n   n   n  +   +   +   > +   +   (n > 1)  Baøi 3:   Ch  ng minh r  ng v  i m  i n      N*, ta có: a)   3   11 n   n +   chia h  t cho 6.   b)   3   2 3   5 n   n   n +   +   chia h  t cho 3. c)   2   2   2   1  7.2   3 n   n -   -  +   chia h  t cho 5.   d)   3   2 n   n +   chia h  t cho 3. e)   2   1   2  3   2 n   n +   +  +   chia h  t cho 7.   f)   13   1 n   -   chia h  t cho 6.  Baøi 4:   Ch  ng minh r  ng s     ng chéo c  a m  t    a giác l  i n c  nh là   (   3)  2  n n   -   .  Baøi 5:   Dãy s    (a n   )    c cho nh    sau:   1   1 2,   2 n   n a   a   a + =   =   +   v  i n = 1, 2, ... Ch  ng minh r  ng v  i m  i n      N* ta có:   1  2 cos 2 n   n a   +  = p   .  CH  NG III DÃY S     Tr  n S    Tùng  Trang 1II. Dãy s   1. Dãy s   :   *  ( )  u  n   u n        a   D  ng khai tri  n:   (u   n   ) = u1   , u2   , ..., u n   , ...  2. Dãy s    t  ng, dãy s    gi  m     (u n   ) là dãy s    t  ng     un+1   > u n   v  i  "   n     N*.     un+1    n   > 0 v  i  "   n     N*     1   1 n n u u  +   >   v  i  " n     N* ( u   n   > 0).     (u n   ) là dãy s    gi  m     un+1   < u n   v  i  " n     N*.     un+1    n   < 0 v  i  "   n     N*     1   1 n n u u  +   <   v  i  " n     N* (u   n   > 0).  3. Dãy s    b    ch  n     (u n   ) là dãy s    b    ch  n trên     $ M     R: un     M,  " n     N*.     (u n   ) là dãy s    b    ch  n d  i     $ m     R: u   n     m,  " n     N*.     (u n   ) là dãy s    b    ch  n     $ m, M     R: m     un     M,  " n     N*.  Baøi 1:   Hãy vi  t 5 s    h  ng    u c  a dãy s    (u n   ) cho b  i: a)  2 2 2   1 1 n n u   n  -  =   +   b)   ( 1)  2   1  n  n n u   n  + - =   +   c)   2 1 1 n n u n  -  = +  d)   1  3  n  n u        =   -           e)   2  cos n u   n   n =   +   f)   (   1)!  2  n   n n u   +  =  Baøi 2:   Hãy vi  t 5 s    h  ng    u c  a dãy s    (u n   ) cho b  i: a)   (   ) 1   1 1 2,   1 3 n   n u   u   u + =   =   +   b)   1   2   2   1 15,   9,   n   n   n u   u   u   u   u +   + =   =   =   -  c)   1   1   2 2 0,   1 n n u   u   u  + =   =   +   d)   1   2   2   1 1,   2,   2 n   n   n u   u   u   u   u +   + =   = -   =   -  Baøi 3:   Hãy vi  t 5 s    h  ng    u c  a dãy s    (u n   ), d     oán công th  c s    h  ng t  ng quát u   n   và ch  ng minh công th  c      b  ng qui n  p: a)   1   1 1,   2   3 n   n u   u   u + =   =   +   b)   2  1   1 3,   1 n   n u   u   u + =   =   +   c)   1   1 3,   2 n   n u   u   u + =   =  d)   1   1 1,   2   1 n   n u   u   u + = -   =   +   e)   1   1 1,   7 n   n u   u   u + =   =   +   e)   1 5 4 u   =   ,   2 1 1  + = +  n n u u   :   a)   n n u   1 2   3 + =   -   b)   n u   n   8 =   +   c)   n  n u   1 3.2   -  =  d)   n u   1 = -   e)   n u   n 7   6 =   -   f)  n n   n u 1 1 2   1 2  + + + =  Baøi 4:   Xét tính t  ng, gi  m c  a các dãy s    (u n   ) cho b  i: a)   2   1  3   2 n n u   n  +  =   -   b)   4   1  4   5  n n   n u   -  =   +   c)   ( 1)  2  n  n u   n  - =   +  d)  2 2 1 1 n n   n u   n  +   +  =   +   e)   2  cos n u   n   n =   +   f)   2 n n u   n  -  =  Baøi 5:   Xét tính b    ch  n trên, b    ch  n d  i, b    ch  n c  a các dãy s    (un   ) cho b  i: a)   2   3  2 n n u   n  +  =   +   b)   1  (   1) n u   n n  =   +   c)   2   4 n u   n =   +  Tr  n S    Tùng  Trang 2

Bài tập dãy số và cấp số – Trần Sĩ Tùng

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Tài liệu dãy số – cấp số dành cho học sinh khối chuyên – Lê Quang Ánh

Tμi   liÖu to ̧n 11   n ̈m   häc   2018 Gi¶ng   d¹y:   nguyÔn   b¶o   v¬ng   -   0946798489   Page | 1  B. CÁC D   1. caùc ví duï minh hoïa  Ví d    1.   Ch  ng mình v  i m  i s    t    nhiên    n   1   ta luôn có:   + +   +   +   +   =   n(n   1) 1   2   3   ...   n   2  Ví d    2.   Ch  ng minh v  i m  i s    t    nhiên    n   1   ta luôn có:   +   +   +   +      =   2 1   3   5   ...   2n   1   n  Ví d    3.   Ch  ng minh r  ng v  i       n   1   , ta có b  ng th  c:   (   )    <   +  1.3.5... 2n   1   1 2.4.6.2n   2n   1  Ví d    4.   Ch  ng minh r  ng v  i            > n   1,   x   0   ta có b  ng th  c:  + +   +      +            +  2n   1 n   n   1 n x (x   1)   x   1 2 x   1   . Đẳ ng th  c x  y ra khi   nào?  Chú ý:   Trong m  t s    trườ ng h    ch  ng minh m    P(n)    i m  i s    t    nhiên   n   ta có th    ch  ng minh theo cách sau  Bướ c 1:   Ta ch  ng minh P(n)    i   = n   1   và   =   k n   2  Bướ c 2:   Gi    s    P(n)    i   =   + n   k   1   , ta ch  ng minh P(n)    i   = n   k   . Cách ch  c g  i là quy n  p theo ki  u Cauchy (Cô si).  1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän  Bài 1   Ch  ng minh r  ng v  i m  i s    t    nhiên    n   1   , ta luôn có  1.   PHƯƠNG PHÁP QUY N  P TOÁN H  C  N  i dung phương pháp quy n    Cho   là m  t s    nguyên dương và   là m  t m    có nghĩa vớ i m  i s    t    nhiên   . N  u  (1)   là đúng và  (2)   N  u      cũng đúng vớ i m  i s    t    nhiên   ;  thì m    P(n) đúng vớ i m  i s    t    nhiên   .  Khi ta b  t g  p bài toán: Ch  ng minh m     i m  i s    t    nhiên   ta có th    s    d   sau  Bướ c 1:   Ki  m tra   có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bướ c hai  Bướ c 2:   V  i   , gi    s     n ch  ng minh   cũng đúng.  K  t lu  n:    i   .  Lưu ý:   Bướ c 2 g  c quy n  p, m     i là gi    thi  t quy n  p.  A. TÓM T  C LÝ THUY  T  Phương pháp .  Phương pháp:   Gi    s    c  n ch  ng th  c   (ho  c   ) đúng vớ i   ta th  c hi  c sau:  Bướ c 1:   Tính   r  i ch  ng minh  Bướ c 2:   Gi    s    , ta c  n ch  ng minh .  V  n đ    1. Dùng quy n  p đ    ch  ng minh đ  ng th  c. B  t đ  ng th  cTμi   liÖu to ̧n 11   n ̈m   häc   2018 Gi¶ng   d¹y:   nguyÔn   b¶o   v¬ng   -   0946798489   Page | 2  1.   +   + +   +   +      +   = 2   2   2   2   n(n   1)(2n   1) 1   2   ...   (n   1)   n   6   2.   + +   +   +   =     2   n   n 1   2   n   3   2n   3 ... 3   4 3   3   4.3  Bài 2   Ch  ng th  c sau  1 .   (   )(   ) +   + +   +   +   +   =   n n   1   n   2 1.2   2.3   ...   n(n   1)   3   v  i       n   1   2.   (   )(   )  +   +   +   +   =   +    +  1   1   1   1   n ... 1.5   5.9   9.13   4n   1 4n   3   4n   1  3.   (   )     + +   +   +   +   =              3   3   3   3 2 n n   1 1   2   3   ...   n   2   4.  (   )                  +                 =                                          2 4   4   4   4   1   2n 1   1   1   ... 1 1   9   25   1   2n 2n   1  5.   +   +   +   = +   +  1   1   1   n ... 1.2   2.3   n(n   1)   n   1   6.      + +   +   +   +      =        2 2   2   2   2   n(n   1)(3n   2) 1.2   2.3   3.4   ...   (n   1).n   ,   n   2 12  7.   +   + +   +   +   = 2   2   2   2n(n   1)(2n   1) 2   4   ...   (2n)   3   8.   +   +   + +   +   +   +   +   =   n(n   1)(n   2)(n   3) 1.2.3   2.3.4   ...   n(n   1)(n   2)   4  V  i m  i      n   *   .  9.      + +   +   +   +      =  2 2   2   2   2   n(n   1)(3n   2) 1.2   2.3   3.4   ...   (n   1).n   12   v  i       n   2   .  10.   + +   +   +   = +   +   +   +  1   1   1   n(n   3) ... 1.2.3   2.3.4   n(n   1)(n   2)   4(n   1)(n   2)   Với mọi      n   *   .  Bài 3 1.   Ch  ng minh r  ng v  i m  i s    t    nhiên    n   1   ta có:  +  +   +   +   +   +   =   n   1 2   2   2   ...   2   2   2 cos 2   (n d   2.   Ch  ng th  c  + +   +   =  nx   (n   1)x sin   sin 2   2 sin x   sin 2x   ...sin nx   x sin 2 v  i       x   k2   v  i    n   1   .  Bài 4   Ch  ng minh r  ng v  i m  i    n   1   ta có b  ng th  c:   sin nx   n sin x         x  Bài 5 1.   Ch  ng minh r  ng v  i m  i s    t    nhiên    n   1   , ta có :       +   <          n 1 1   3 n  2.   >   + n 3   3n   1   v  i m  i s    t    nhiên    n   2   ;  3.   (   )   >   +   2.4.6.2n   2n   1 1.3.5... 2n   1   v  i m  i s    t    nhiên    n   1   ;  Bài 6   Cho hàm s    f   xác đị nh v  i m  i      x   và tho    mãn điề u ki  n :   +            f(x   y)   f(x).f(y),   x, y   (*). Ch  ng minh r  ng v  i m  i s    th  c   x   và m  i s    t    nhiên   n   ta có :   (   )                            2n n x f x   f   2  Bài 7   Ch  ng minh các b  ng th  c sau  1.   +   +   +   +   <     2 1   1   1   1 1   ...   2 4   9   n n       n   2   2.   <   +   +   +     1   1   1 n   1   ....   2   n 2   3   n  3.       tan n   n tan   v  i   (   )   < α <     0   4 n   1   4.   >   +       n 2   2n   1   n   3  5.   +   >   +         n   2   * 2   2n   5, (   n   )   6.      >   +            n   1   * 3   n(n   2); (   n   , n   4)  7.      >               n   3   * 2   3n   1; (   n   , n   8)   8.       +       +  (n   1)cos   n cos   1 n   1   n   v  i       n   1  9.   +   < +   +  1 3 5   2n   1   1 .   .   .... 2 4 6   2n   2   3n   4   10.   +   +   +   +   <               * n 1   1   1 1   ...   n ;(   n   , n   2) 2   3   2   1   .

Chuyên đề quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Nguyễn Bảo Vương

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021 Facebook Nguyễn Vương      https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1  Lý thuyết.   Phương   pháp   quy   nạp   toán   học     *  n         là đúng với mọi   n   mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau:     Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với   1. n        Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì   1 n   k       (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với   1. n   k       Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi   1 n      nên theo kết quả ở bước   2,   nó cũng đúng với   1   1   2. n            Vì nó đúng với   2 n      nên lại theo kết quả ở bước   2,   nó    2   1   3,... n            Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên   *   . n        2.   Chú      Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên   n   p    (   p   là một số tự nhiên) thì:     Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với   ; n   p      Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì   n   k   p       và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với   1. n   k      DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT  A. Phương   pháp   giải  Giả sử cần chứng minh đẳng thức   ( )   ( ) P n   Q n    (hoặc   ( )   ( ) P n   Q n    ) đúng với   0   0 , n   n   n             ta thực hiện các bước sau:  Bước   1:   Tính   0   0 (   ),   (   ) P n   Q n   rồi chứng minh   0   0 (   )   (   ) P n   Q n   Bước   2:   Giả sử   0 ( )   ( );   , P k   Q k   k   k   n           , ta cần chứng minh (   1)   (   1) P k   Q k          .  B. Bài   tập   tự   luận Câu 1.   Chứng mình với mọi số tự nhiên   1 n      ta luôn có:   (   1) 1   2   3   ...   2  n n n                  ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................  Chương 3  PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP Bài   1NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Câu 2.   Chứng minh với mọi số tự nhiên   1 n      ta luôn có:   2 1   3   5   ...   2   1 n   n                  ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................  Câu 3.   Chứng minh rằng với   1 n       , ta có bất đẳng thức:       1.3.5... 2   1   1 2.4.6.2   2   1  n n   n          ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................  Câu 4.   Chứng minh rằng với   1,   0 n   x             ta có bất đẳng thức: 2   1 1 (   1)   1 1   2  n n   n n x   x   x x                           . Đẳng thức xảy ra khi nào?  ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Nguyễn Bảo Vương

GVBS: Nguy  n Hoàng Vinh   [ TÀI LI  U ÔN THI HSGQG 2021      DÃY S  ]  1   |   N      h      c   2 0 2 1   -   2 0 2 2  CHUYÊN Đ    DÃY S       TUY  N 2020      2021  L  N 1  N  i dung:  1.   Tính gi  i h  n theo đ  nh nghĩa, đ  nh lý k  p, đ  nh lý Weierstrass , dùng công th  c t  ng quát ...  2. Các tính ch  t, đánh giá xung quanh dãy s  .  Bài 1:   Cho dãy s  (   )  n  a   th  a 1   n   1   n 1   2   n  1 a   0,a   a   a   a   ...   a +     =   +   +   +   +   . Tính n   1 n  a lim a  +   .  L  i gi  i:  T    gi    thi  t, ta có (   )  n  a   là dãy dương và tăng ng  t, suy ra 1   2   n   n  a   a   ...   a   na +   +   +      và đi  u này suy  ra n   1   n   n   1   1 n   n  1   1   1   1 a   a   a   a   1   ... na   a   2   n +   +         +         +   +   +   +           .  Gi    s    dãy (   )  n  a   b    ch  n trên b  i M, suy ra n  1   1   1 1   1   ... a   2   n      +   +   +   +           cũng b    ch  n, hay 1   1   1 1   1   ... M   2   n      +   +   +   +          cũng b    ch  n và đi  u này vô lý.  V  y n  lima   = +   và t    trên ta có đánh giá: (   )  n   1 n   n   1   n  a   1 1   1 a   a   a   ...   a  +   =   +    +   +   hay n   1 n  a lim   1 a  +   =   .  Bài 2:   Cho dãy s  (   )  n  x   th  a n   n   1 n   2   1   2 n   n   1  x .x x   , x   x   0 2x   x  + + +  =          . Tính (   )  (   )  n   1   n  lim n   n   x   x +      .  L  i gi  i:   T        cho, đ  t n n  1 y   x  =   ta suy ra công th  c t  ng quát cho n  y   và suy ra công  th  c cho (   )  1   2 n 1   2   1   2  x .x x   x   x   n   2x   x  =      +      và suy ra k  t qu  .  Bài 3:   Cho dãy s  (   )  n  x   th  a 1   2  x ,x   0    và n   1 n   1 n   2   n n  4 x   2 2   x  + + +   =   + +   , tính n   1 n  x lim x  +   .GVBS: Nguy  n Hoàng Vinh   [ TÀI LI  U ÔN THI HSGQG 2021      DÃY S  ]  2   |   N      h      c   2 0 2 1   -   2 0 2 2  L  i   gi  i:     t n n   n  x y   2  =   và   t    gi    thi  t   suy   ra n   2 n  1   1 y   1   y   2 +   =   + +   .   T       cho   ta n   2   n   n n  1   2 y   1   y   1   y   1   ,   n   1; 2; 3;... y   1   3 +      =               = +  do n  1 y   2     v  i m  i giá tr    n (dãy dương). T      suy ra n n   n  x lim y   1   lim   1 2  =      =   và n n   1   n   1 n   1 n   n  x   x   2 lim   lim   .   .2   2 x   x 2  +   + +      =   =           .  Bài 4:   Cho hàm s  : f   D       , ngh  ch bi  n trên D và dãy (   )  n x   xác đ  nh b  i (   )  1 n   n x   f   x +   =   và  th  a đi  u ki  n:  1/ 1   3   1   2 , x   x   x   x       và (   )  1   2 ; x   x   D   2/ (   ) (   )  a   f   b b   f   a  =      =     có nghi  m duy nh  t a   b   l =   =   trên (   )  1   2 ; x   x   .  Ch  ng minh dãy đã cho có gi  i h  n.  L  i gi  i:    u tiên, ta ch  ng minh (   )  1   2 ;   , n x   x   x   D   n          . Th  t v  y, có th    xét quy n  p không hoàn toàn như  sau (   )  1   2   2   3   3   1   2   3   4 ; x   x   x   x   x   x   x   x   x                     và (   )  1   3   2   4   4   1   2   3   5 ; x   x   x   x   x   x   x   x   x                      .  T     3   5   3   4 , x   x   x   x       . Quá trình này ti  p di  n liên t  c cho ta đi  u ph  i ch  ng minh.  Xét dãy (   )  (   )  (   )  (   )  2   2   2   2   1   2   1 , n   n   n   n x   f   f   x   x   f   f   x    +    =   =   . T    ch  ng minh trên ta có (   )  2   1 n x      là dãy tăng và (   )  2 n x  là dãy gi  m. Đ  ng th  i (   )   (   ) (   )   (   )  2   1   1   2   2   1   2 ;   ,   ; n   n x   x   x   x   x   x          nên hai dãy đã cho h  i t  .    t 2   2   1 lim   ,   lim n   n a   x   b   x    =   =   . L  y lim hai v    c  a (   )  1 n   n x   f   x +   =   ta có h  (   ) (   )  a   f   b b   f   a  =      =    V  y, theo gi    thi  t, h    có nghi  m duy nh  t a   b   l =   =   nên lim   n x   l =   .  Bài 5:   Tìm gi  i h  n c  a dãy s  (   ) n x   bi  t 1   2 1   3 1   1   (   1) 1 n x   n   n =   +   +   +   +      +

Tài liệu ôn thi HSG Quốc gia môn Toán chủ đề dãy số – Nguyễn Hoàng Vinh

Chuyên đề 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ   NHÂN  92  Chuyên đề   3 :  DÃY SỐ   -   CẤP SỐ   CỘNG   -   CẤP SỐ NHÂN  VẤN ĐỀ 1  PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC      A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI  BÀI TOÁN  Chứng minh mệnh đề      P n    n   p    . ( * p   N    )  Thực hiện 3 bước sau     Bước 1 . Chứng minh mệnh đề      P n    n   p    .  (Bằng cách thế n   p    vào mệnh đề      P n   và thường nhận thấy ngay sự đúng đắn của nó.)     Bước 2 . Giả sử mệnh đề      P n    n   k    ( k   p    ).  (Nghĩa là thế n   k    vào mệnh đề      P n   và giả sử mệnh đề      P k   này là        Bước 3 . Chứng minh mệnh đề      P n    1 n   k       .  (Nghĩa là thế 1 n   k       vào mệnh đề      P n   và dựa vào giả thiết      P k    mệnh đề      1 P k      là đúng)  Khi đó ta kết luận được mệnh đề      P n    n   là số tự nhiên và n   p    .   Ghi chú  .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................  B.   BÀI TOÁN MẪU  Chứng minh    n      Z + : 3  n   n    chia hết cho 3.  Bài giải   Nhắc lại:      1; 2; 3; 4;... Z       là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1 và còn được kí hiệu *  N   Xét mệnh đề      P n   với nội dung: “ 3  n   n    chia hết cho 3 đúng với mọi   n   là số tự nhiên và   n     1    Chứng minh      P n   Trường THPT MARIE CURIE  93     Bước 1 . Trước hết, chứng minh mệnh đề      P n     Thế n = 1 vào biểu thức 3  n   n    ta    3   3     1 – 1   0. n   n         Rõ ràng số 0 chia hết cho 3.  Như vậy mệnh đề      P n     Vấn đề      P n   có đúng với n = 2, n = 3, n = 4, ... không?  Muốn vậy, phải thế từng giá trị n = 2, n = 3, n = 4,   ... vào biểu thức 3  n   n    và điều này là không tưởng! Cho nên ta làm tiếp bước thứ 2 như sau.     Bước 2 . Giả sử mệnh đề      P n     Nghĩa là giả sử biểu thức      3    P k   k   k    chia h   Nói lại cho rõ ở bước này: Thế lần lượt n = 2, n = 3, n = 4,... đến n = k vào biểu thức n 3      n và giả sử các biểu thức được thế đó đều chia hết cho 3.     Bước 3 . Bây giờ chứng minh mệnh đề      P n   cũng đúng với 1 n   k       .  Thế 1 n   k       vào biểu thức 3  n   n    ta được:                  3  1   1      1 P k   k   k             và dựa vào giả thiết:       3    P k   k   k    chia hết cho 3” để chứng minh “      1 P k      cũng chia hết cho 3” .  Ta có:                            3   3   2   3   2  1   1      1   3   3   1 –   1   3   2 . P k   k   k   k   k   k   k   k   k   k                                    Biến đổi biểu thức      3   2  1   3   2 P k   k   k   k             sao cho xuất hiện      3    P k   k   k    bằng cách biến đổi:                       3   2   3   2   3   2  1   3   2      3   3      3 P k   k   k   k   k   k   k   k   k   k   k   k                              Theo giả thiết của   bước 2   thì      3    k   k   chia hết cho 3, đồng thời dễ dàng thấy      2  3   k   k    cũng chia hết cho 3 nên      1 P k      chia hết cho 3.  Như vậy: “ Nếu      P n         P n        bước 1 ta   có      P n         P n     Bây giờ ta đã có      P n         P n     Bây giờ ta đã có      P n         P n     ....................................  Với cách lập luận tuần tự như trên ta kết luận được      P n       n      Z + .  Tên gọi     Ba bước chứng minh trên là tinh thần của “Nguyên lí quy nạp” với tên gọi:   Bước 1   là bước cơ sở,   Bước 2   là giả thiết quy nạp và   Bước 3   là bước quy nạp.     Cách chứng minh trên gọi là cách   chứng minh bằng phương pháp quy nạp .  C.   VÍ DỤ  Ví dụ 1.   Chứng minh:                     1 1   2   3   ...   (*) 2  n n n   với mọi    *  n

Các dạng bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi – Huỳnh Đoàn Thuần

Mai Xuân Việt –   Email: xuanviet15@gmail.com      Tel : 01678336358      0938680277      0947572201  TÌM SỐ HẠNG   TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN  I- Phƣơng trình sai phân bậc nhất:   Dạng 1 : Cho dãy số {x n } : 0 n+1  onst ax   0 n  x   c bx              .   Tìm số hạng tổng quát của dãy số?  Từ công thức truy hồi ta có   : 2 1   2   0 .   .   ....................   .  n n   n   n  b   b   b x   x   x   x a   a   a                                                                           Khi đó   công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi : 0   .  n n  b x   x   a                    .   T hí dụ   : Cho dãy số {x n } được xác định bởi : 0 1  5 3   0 , n   n  x x   x   n                     .  Tìm số hạng tổng quát của dãy số.  Giải:   Từ công thức truy hồi ta có : 2 1   2   0 3   3   .................   3   5.3 n   n n   n   n   n x   x   x   x   hay   x                    .   Dạng 2:   Cho dãy số {x n } : 0 n+1 ax   ( ) n   k  x bx   P   n             , với ( ) k P n   là đa thức bậc k của n.  Tìm số hạng tổng quát của dãy số ?  Giải:   Xét phương trình đặc trưng : 0   b a   b   a                .   *  n x   gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân. Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi   : *  .   n n   n x   c   x         . Trong đó nghiệm  riêng *  n x        Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng *   ( ) n   k x   Q   n    thay vào phương trình ta được: .   (   1)   .   ( )   ( ) k   k   k a Q   n   b Q   n   P n         . Đồng nhất hệ số ta tìm được ( ) k Q   n   .     Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng *   .   ( ) n   k x   n Q   n    thay vào phương trình ta được: (   1).   (   1)   .   ( )   ( ) k   k   k a n   Q   n   bn Q   n   P n            . Đồng nhất hệ số ta tìm được .   ( ) k n Q   n   .   Thí dụ 1:   Cho dãy số {x n } : 0 2 1  7 2   3   4   5 ,   . n   n  x x   x   n   n   n                             .Tìm số hạng tổng quát x n   .  Giải:   Xét phương tình đặc trưng 2   0   2                . Ta có : a + b = 1      2 = -1    *   2  n x   an   bn   c          . Thay *  n x   vào  pt, ta được : 2   2   2  (   1)   (   1)   2   2   2   3   4   5 a n   b n   c   an   bn   c   n   n                             2   2  (2   )   3   4   5 an   a   b n   a   b   c   n   n                           .   *   2  3   3 2   4   10   3   10   18 5   18  n  a   a a   b   b   x   n   n a   b   c   c                                                              . CTT Q của số hạng   trong dãy : 2  .2   3   10   18 n n x   c   n   n             .  Từ 2 0   7   18   7   25.   25.2   3   10   18 n n x   c   c   Suy ra x   n   n                               .   Thí dụ 2:   Cho dãy số {x n } : 0 1  5 4   5 ,   . n   n  x x   x   n   n                        . Tìm CTTQ của x n .  Giải:   Xét phương trình đặc trưng 1   0   1                .Mai Xuân Việt –   Email: xuanviet15@gmail.com      Tel : 01678336358      0938680277      0947572201  Ta có : a + b = 1      1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng *   2  (   ) n x   n an   b   an   bn             . *  n x   vào pt,  ta được : 2   2  (   1)   (   1)   4   5 a n   b n   an   bn   n                      . 2   4   5 an   a   b   n               .   *   2 2   4   2   2   3 5   3   n  a   a   x   n   n a   b   b                                    .  Số hạng tổng quát của dãy có dạng : 2  2   3 n x   c   n   n          .  Từ 2 0   5   5.   2   3   5. n x   c   Suy ra x   n   n                   Dạng 3:   Cho dãy số {x n } : 0 n+1 ax   (   onst) ,   n   . n  x bx   d   d   c                        Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là : 0 0  1 .   0. 1 0.  n n n n  b d   a b x   x   neu a   b a   b a   a x   x   nd   neu a   b                                                                                                                              Thí dụ 1:   Cho dãy số {x n } : 0 1  5 6 ,   . n   n  x x   x   n                     . Tìm CTTQ của x n   .  Giải:   Từ công thức truy hồi ta có : 1   2   3   0 6   2.6   3.6   .......   6   6   5 n   n   n   n   n x   x   x   x   x   n hay x   n                                        .   Thí dụ 2:   Cho dãy số {x n } : 0 1  3 8   4   , n   n  x x   x   n                     . Tìm CTT Q của x n   .  Giải:   Từ công thức truy hồi, ta có :             2 2   2 1   2   2   2   0  8   1   8   1 8   4   8 8   4   4   8 .   4 8   1   8 .   4.   ........   8 .   4. 8   1   8   1  n n n   n   n   n   n x   x   x   x   x   x                                                          . Suy ra     4   25   4 3.8   . 8   1   .8   . 7   7   7  n   n   n n x                  Dạng 4:   Cho   dãy số {x n } : 0 1   .   , n n   n  x ax   bx   d   n                        . Tìm CTTQ của x n .  Giải:   Xét phương trình đặc trưng : 0   .  b a   b   q a                     Nếu        thì nghiệm riêng của phương trình *   .   n n x   c      thay vào pt, ta được :           1   *  . .   . .   .  n   n n   n   n n  d   d   d a c   b c   d   c   x   do b   qa a   b   a   b   a   q                                                .  Số hạng tổng quát của dãy :      * 1   1 .   .   .  n n   n n   n  d x   c q   x   c q   a   q                  Từ 0   1   1   0   0   0 .   .   . (   )   (   )   (   )   (   )  n   n   n n   n n  d   d   d   d   d   q x   c   c   x   x   x   q   x q a   q   a   q   a   q   a   q   a   q                                                                        Nếu        thì nghiệm riêng của phương trình *   n n x   cn      thay vào pt, ta được : 1  (   1)   (   ) (   1)   (   1)  n   n   n   d   d   d ac n   bcn   d   c   do q a n   bn   a n   aqn   aq                                              .

Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân – Mai Xuân Việt

NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay - VÜnh Têng - VÜnh phóc  VT. 05 - 2009   1  Lêi nãi ®Çu  Mét trong nh÷ng ph¬ng ph ̧p rÊt m¹nh trong to ̧n häc dïng nghiªn cøu vμ chøng minh c ̧c gi¶ thiÕt lμ nguyªn lý quy n¹p to ̧n häc. Ph¬ng ph ̧p quy n¹p  B§T, Tæ hîp,...Trong b ̧o c ̧o nμy t«i chØ ®Ò cËp ®Õn  ̧p dông cña ph¬ng ph ̧p quy n¹p vμo mét sè d¹ng to ̧n vÒ d·y sè. Trong ch¬ng tr×nh to ̧n phæ th«ng th× to ̧n vÒ d·y sè ®îc ph©n phèi thêi lîng kh«ng nhiÒu, ®Æc biÖt trong ch¬ng tr×nh to ̧n ph©n ban hiÖn nay ®· lîc bá nhiÒu ®Þnh lý quan träng.Trong phÇn lín c ̧c kú thi th× d¹ng to ̧n nμy hÇu nh kh«ng cã. To ̧n vÒ d·y sè thêng chØ giμnh cho nh÷ng häc sinh kh ̧ giái trong c ̧c kú thi cÊp TØnh vμ Quèc gia, do vËy nã cμng Ýt ®îc häc sinh vμ c¶ gi ̧o viªn quan t©m ®Õn. PhÇn v× d¹ng to ̧n nμy còng t¬ng ®èi khã vμ trõu tîng ®èi víi häc sinh, häc sinh gÆp nhiÒu khã kh ̈n vμ rÊt ng¹i khi gÆp d¹ng to ̧n nμy. Trong thêi gian võa qua t«i ®· thu thËp, tÝch lòy vμ hÖ thèng ®îc mét sè d¹ng to ̧n vÒ d·y sè nh»m phôc vô cho c«ng t ̧c gi¶ng d¹y, båi dìng häc sinh giái cña m×nh. Víi môc ®Ých gióp häc sinh tiÕp cËn mét sè d¹ng to ̧n ®Æc trng vÒ d·y sè do ®ã t«i lùa chän ®Ò tμi nμy. C ̧c bμi to ̧n ®îc lùa chän chñ yÕu cho nh÷ng häc sinh kh ̧, giái. Sù ph©n chia thμnh c ̧c d¹ng to ̧n vμ nh÷ng ® ̧nh gi ̧ cña t«i lμ theo quan ®iÓm chñ quan cña m×nh, do ®ã kh«ng tr ̧nh khái nh÷ng thiÕu sãt. KÝnh mong c ̧c thÇy c« vμ c ̧c b¹n ®ång nghiÖp ®äc vμ cho ý kiÕn gãp ý ®Ó tμi liÖu nμy ®îc hoμn thiÖn h¬n.  Xin ch©n thμnh c ̧m ¬n !  VÜnh Têng   5 . 2009  T ̧c gi¶:   NguyÔn Minh H¶iNguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay - VÜnh Têng - VÜnh phóc  VT. 05 - 2009   2  Môc lôc TT   Néi dung   Trang Lêi nãi ®Çu   1 PhÇn 1   Mét sè vÊn ®Ò vÒ lý thuyÕt I   Ph¬ng ph  ̧p quy n¹p to ̧n häc   3 II   Mét sè vÊn ®Ò vÒ d·y sè   5 III   Mét sè d¹ng to ̧n vÒ d·y sè thêng gÆp   6 PhÇn 2    ̧ p dông gi¶i to ̧n I   Chøng minh d·y sè t ̈ng, gi¶m vμ bÞ chÆn   8 II   C«ng thøc tæng qu ̧t cña d·y sè   10 III   T×m giíi h¹n cña d·y sè   12 IV   Mét sè d¹ng to ̧n kh ̧c   18 PhÇn 3   Bμi tËp t  ng hîp   21 Tμi liÖu tham kh¶o   23

Hướng dẫn giải toán chuyên đề dãy số – Nguyễn Minh Hải

GV GV GV GV. TR TR TR TRẦ    N QU N QU N QUỐ    C NGH C NGH C NGHĨA    (S (S (Sưu t       m và biên t m và biên t m và biên tậ    p) p) p)   1 1 1 1  File word liên h  :   toanhocbactrungnam@gmail.com   MS: GT11-C3  PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN  V  n      1 .   PH  NG PHÁP QUY N  P TOÁN H  C     ch  ng minh nh  ng m  nh      liên quan    n s    t    nhiên   n           là      i m  i n mà   không th   th    tr  c ti  p    c , ta có th    dùng ph  ng pháp quy n  p toán h  c (hay g  i t  c là   ph  ng pháp quy n  p ) nh    sau:  -   B  c 1 : Ki  m tra r  ng m  nh         i   n = 1   .  -   B  c 2 : Gi    s    m  nh         i   1  n = k   b  t kì (g  i là gi    thi  t quy n  p)  -   B  c 3 : Ch  ng minh r  ng nó c  ng      i   n = k + 1   .     Các ki  n th  c c  n nh  :  *   Cách vi  t s    t    nhiên:     Các s    t    nhiên liên ti  p:   ;   1;   2; n n   n +   +   ...     Các s    t    nhiên ch  n liên ti  p:   2 ; 2   2; 2   4; n   n   n +   +   ...     Các s    t    nhiên l    liên ti  p:   2   1; 2   3; 2   5; n   n   n +   +   +   ... *   Tính ch  t chia h  t:     Các s    ch  n thì chia h  t cho 2.     Các s    t  n cùng b  ng 0 ho  c 5 thì chia h  t cho 5.     Các s    có t  ng các ch    s    chia h  t cho 3 thì chia h  t cho 3.     Các s    có t  ng các ch    s    chia h  t cho 9 thì chia h  t cho 9.     S    t  o b  i hai ch    s    t  n cùng chia h  t cho 4 thì chia h  t cho 4.     S    t  o b  i hai ch    s    t  n cùng chia h  t cho 25 thì chia h  t cho 25.     S    t  o b  i 3 ch    s    t  n cùng chia h  t cho 8 thì chia h  t cho 8.     S    t  o b  i 3 ch    s    t  n cùng chia h  t cho 125 thì chia h  t cho 125.     M  t s    v  a chia h  t cho 2 v  a chia h  t cho 3 thì chia h  t cho 6.     Tích c  a hai s    t    nhiên liên ti  p luôn chia h  t cho 2.     Tích c  a ba s    t    nhiên liên ti  p luôn chia h  t cho 2, 3 và 6.     Tích c  a b  n s    t    nhiên liên ti  p luôn chia h  t cho   2,3,4,6,8   . *   Tính ch  t l  y th  a:     . m   n   m   n  a   a   a   +  =       : m   n   m   n  a   a   a =     (   )   .  n   n   n  ab   a   b =     (   )   . n m   m n  a   a =    n   n  n  a b  a  b            =         m  n   m   n  a   a =  *  Phân tích    a th  c   2  ax + bx + c   thành nhân t  :  N  u ph  ng trình   2   0 ax   bx   c +   +   =   có 2 nghi  n phân bi  t   1   2 , x   x   thì:  (   ) (   ) 2  1   2     ax   bx   c   a x   x   x   x +   +   =  D  ng 1 .   Ch  ng minh    ng th  c b  ng ph  ng  pháp quy n  p  A.   PH  NG PHÁP GI  I     N  m rõ nguyên lý quy n  p g  m ba b  c trong ph  n tóm t  t lý thuy  t  3 Chủđề

Các dạng toán phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Trần Quốc Nghĩa

Chuyên đề d    Trang   1Chuyên đề d    Trang   2

Phân dạng bài tập về phương pháp quy nạp toán học và dãy số

GI    CSC      CSN   TH   1 FB: PHONG LÂM H   N 11, SÀI GÒN  8 0 CÂU HỎ I    P V    C  P S    C  NG - C  P S    NHÂN  Công thức nào sau đây      v  i c  p s    c  ng   có số   h  u u 1   ,   công sai d      0  A. n u   u   d     1   B.     n u   u   n   d        1   1  C.     n u   u   n   d        1   1   D.     n u   u   n   d        1   1  Cho c  p s    c    s    h  u    1  1 2   , công sai là d      1 2   .   Năm   s    h  p   a c  a c  p s    này là:  A. ;   ;   ;   ;   ;   1   1 0 1   1 2   2   B. ;   ;   ;   ;   1   1   1 0   0 2   2   2   C. ;   ;   ;   ;  1   3   5 1   2 2   2   2   D. ;   ;   ;   ;   1   1   3 0   1 2   2   2  Cho c  p s    c  ng   có số   h  u    1   3   và u    6   27   . Công sai củ a c  p s    c  là:  A. 5   B. 6   C. 7   D. 8  Vi  t 4 s    xen gi  a hai s  1 3   và 16 3       c c  p s    c  ng   có sáu số   h  ng  A. ;   ;   ;  4   5   7 2 3   3   3   B. ;   ;   ;  4   7   10   13 3   3   3   3   C. ;   ;   ;  4   7   11 14 3   3   3   3   D. ;   ;   ;  3   7   11 15 4   4   4   4  Cho c  p s    c  ng     n u   v  i u   u   u u   u                       2   3   5 3   4  10 17   .S    h    l  t   là  A. 1   và 3   B.   2 và 3   C.   3 và 1   D.   3 và 2  Cho c  p s    c  ng     n u   th  u   u u   u                 9   2 13   6  5 2   5   . S    h    l  t   là  A. 3   và 4   B.  3   và 4   C.   4 và  3   D.  4   và  3  Cho c  p s    c  ng     n u   có n u   , d   ,S        1   1   2   483   . S    các số   h  ng c  a c  p s    c  ng    là:  A.   20   B.   21   C.   22   D.   23  S    h  ng t  a c  p s    c  ng th  a u   u u                 1   3 5  6 10   là:  A. n u   n     5   3   B. n u   n     5   3   C. n u   n    5   D. n u   n     2   3  Tìm tấ t c    giá trị   c  a x      3 s  x, x ,   x     2  1   1   l  p s    c  ng.  A. x    2   B. x    1   C. x      2   D. x      1  Tìm tấ t c    giá trị   c  a x      3 s  x, x   ,   x        2  1   3   5 1   l  p   thành   c  p s    c  ng.  A. x x            3 2   B. x x            2 3   C. x x            3 3   D. x x            2 2  Cho c  p s    c  ng   có 4 số   h    t  ng c  ng 22, t   b  ng 166. B  n s    h  ng c  a c  p s    c  ng   là:  A. ;   ;   ; 1 4   7   10   B. ;   ;   ; 1 4   5 10   C. ;   ;   ; 2   3   5   10   D. ;   ;   ; 2   3   4   5  Cho c  p s    c  ng   có u   u     2   22   60   . T  ng c  a 23 s    h  ng c  a c  p s    c    là  A.   690   B.   680   C.   600   D.   500  Cho c  p s    c  ng     n u   th  u   u u   u                    2   5 3   10  42 66   . T  ng c  a 346 s    h  :  A.   242546   B.   242000   C.   241000   D.   24000GI    CSC      CSN   TH   2 FB: PHONG LÂM H   N 11, SÀI GÒN  Cho c  p s    nhân   v  i u   ; u       1   7  1   32 2   .   Công bộ i c  a c  p s    nhân là:  A. q      1 2   B. q    4   C. q    2   D. q    1  S    h  u   và công bộ i c  a c  p s    nhân thỏ a u   , u     7   10 5   135   l  t   là  A.    5 729   và  3   B. 5 729   và  3   C.    5 729   và 3   D. 5 729   và 3  Cho c  p s    nhân   v  i u   , q     1   3   2   . S    192 là số   h  ng th    m  y c  a c  p s    nhân trên ?  A.   s    h  ng th    5   B.   s    h  ng th    6   C.   s    h  ng th    7   D.   s    h  ng th    8.  S    h    b  i c  a c  p s    nhân   v  i u   u u   u                    4   2 5   3  54 108   l   A. 9   và 2   B. 9   và  2   C.  9   và 2   D.  9   và  2  Giá trị   c  a s    th  c x      3 s  ; x ;      1   1 5   125   l  p s    nhân là  A.    1 5   B.    1 25   C.    1 5   D.  5  Bi  t r  ng x, y   là các   s    th  c   sao cho các   s  x;   x   y; y  2   3   theo th    t    l  p s   c  x ; xy   ; y  2   2  6   theo th    t    l  p s    nhân.   C  p     x; y   là:  A. ;               3 7   7   và ;                 3 7   7   B. ;                3 7   7   và ;                3 7   7  C. ;               3 2   2   và ;                 3 2   2   D. ;                3 2   7   và ;                3 2   7  Cho cấp số cộng     n u   biết n   n u   ,   S   S     5   2 18 4   .   Giá trị u 1   và d   là   :  A. u   ;d     1   3   2   B. u   ;d     1   2   2   C. u   ;d     1   2   4   D. u   ;d     1   2   3  Tổng n  S   ...                  2   5   1  1   2   2   2   là một số chia hết cho   :  A. 21   B. 41   C. 51   D. 31  Xen giữa số 3 và số 19683 là 7 số để được một cấp số nhân có u    1   3   . Khi đó u 5   là  A.  243   B. 729   C.  243   D. 243  Tổng         S   ... .   .   .   n   n                      1   1   1   1 2 5   5 8   8 11   3   1   3   2   là   :  A.      n S   n      2 3   2   B.      n S   n       3 2 3   2   C.      n S   n        3   1 2 3   2   D. n S   n       3 3   2  Nghiệm của phương trình ...   x              1   7   13   280   là   :  A.   53   B.   57   C.   55   D.   59  Cho dãy số n  n u   n      2  2 1   . Số 9 41   là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số   ?  A.   9   B.   10   C.   8   D.   11  Ba số ;   ; b   a   b   b   c      2   1   2   (với b   ;b   a;b   c        0   ) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.  Kh       ?  A.   Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng   B.   Ba số b, a, c lập thành cấp số nhân

80 câu trắc nghiệm cấp số cộng, cấp số nhân – Hứa Lâm Phong

Mục lục  Chương 1.   DÃY SỐ   3  1.1   Dãy số   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 1.1.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 1.1.2   Cách cho dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 1.1.3   Dãy số tăng, giảm và dãy số bị chặn   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   6 1.2   Cấp số cộng - Cấp số nhân   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9 1.2.1   Cấp số cộng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9 1.2.1.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9 1.2.1.2   Tính chất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9 1.2.2   Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13 1.2.2.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13 1.2.2.2   Tính chất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13 1.2.3      . . . . . . . . . . . . . .   16  Chương 2.   GIỚI HẠN DÃY SỐ   35  2.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   35 2.2   Các định lí về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   36 2.3   Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   45 2.3.1   Xác định công thức tổng quát của dãy số   . . . . . . . . . . . . . . . . .   45 2.3.2   Sử dụng nguyên lí Weierstrass   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   49 2.3.3   Sử dụng nguyên lí kẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   52 2.3.4   Xây dựng dãy phụ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   56 2.3.5   Giới hạn của dãy   u n   =   f   ( u n )   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   58 2.3.6   Giới hạn của một tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   63 2.4   Dãy số sinh bởi phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   65 12   Mục lục  Nguyễn Tất Thu

Dãy số và giới hạn của dãy số – Nguyễn Tất Thu

ST& BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   Dãy s  -CSN –    GT 11 Trang 1 Mua file Word liên h    - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook:   https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/ST& BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   Dãy s  -CSN –    GT 11 Trang 2 Mua file Word liên h    - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook:   https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/  DÃY S    .......................................................................................................................................................... 3 A – LÝ THUY  T TÓM T  T ......................................................................................................................... 3 B – BÀI T  P ................................................................................................................................................... 3 D  NG 1: S    H  NG C  A DÃY S  ........................................................................................................... 3 D  NG 2: DÃY S     U, DÃY S    B    CH  N ................................................................................. 7 C –   HƯỚ NG D  N GI  I................................................................................................................................13 D  NG 1: S    H  NG C  A DÃY S  ..........................................................................................................13 D  NG 2: DÃY S     U, DÃY S    B    CH  N ................................................................................21 C  P S    C  NG .............................................................................................................................................34 A – LÝ THUY  T TÓM T  T ........................................................................................................................34 B – BÀI T  P ..................................................................................................................................................34 D  NH C  P S    C  NG VÀ CÁC Y  U T    C  A C  P S    C  NG .................................34 D  NG 2: TÌM    U KI    DÃY S    L  P THÀNH C  P S    C  NG ..............................................40 C–   HƯỚ NG D  N GI  I.................................................................................................................................42 D  NH C  P S    C  NG VÀ CÁC Y  U T    C  A C  P S    C  NG .................................42 D  NG 2: TÌM    U KI    DÃY S    L  P THÀNH C  P S    C  NG ..............................................54 C  P S    NHÂN..............................................................................................................................................59 A – LÝ THUY  T TÓM T  T ........................................................................................................................59 B – BÀI T  P ..................................................................................................................................................59 D  NH C  P S    NHÂN VÀ CÁC Y  U T    C  A C  P S    NHÂN ..................................59 D  NG 2: TÌM    U KI    DÃY S    L  P THÀNH C  P S    NHÂN...............................................65 C –   HƯỚ NG D  N GI  I................................................................................................................................66 D  NH C  P S    NHÂN VÀ CÁC Y  U T    C  A C  P S    NHÂN ..................................66 D  NG 2: TÌM    U KI    DÃY S    L  P THÀNH C  P S    NHÂN...............................................77   ..................................................................................................................................79     .........................................................................................................................................................90

Hướng dẫn giải các dạng toán dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Đặng Việt Đông

GV: Phạm Thị Thu Huyền 1  CÁC TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Dạng 1:   Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên  Ví dụ 1.1:   Cho dãy số       n u   có dạng khai triển sau:   1;   1;   1;1;5;11;19; 29; 41;55;.....      Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?  Bài giải:  Nh  n xét:   Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với những cách cho này ta thường làm phương pháp sau:    1 k   k   k u   u   u          2 1 k   k   k u   u   u          3   2   2 1 k   k   k u   u   u          ........ Ta lập bảng các giá trị   2   3 ,   ,   ..... k   k   k u   u   u          nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận   n u   là đa thức bậc 1, 2, 3,.....và ta đi tìm đa thức đó.  L  i gi  i:  Bảng giá trị ban đầu:  k u   1   -1   -1   1   5   11   19   29   41   55  k u    -2   0   2   4   6   8   10   12   14 2  k u    2   2   2   2   2   2   2   2 Ta thấy hàng của   2  k u    không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai:      2   0 n u   an   bn   c a             (1) trong đó   n   là số thứ tự của các số hạng trong dãy. Tìm   , , a b c   như sau: Cho   1; 2;3 n      thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau: 1   1 4   2   1   5 9   3   1   5  a   b   c   a a   b   c   b a   b   c   c                                                        2   5   5 n u   n   n            Số hạng tiếp theo   11   71 u     Ví dụ 1.2:   Cho dãy số       n u   có dạng khai triển sau:   5;   3;11; 43;99;185;307; 471;....    GV: Phạm Thị Thu Huyền 2 Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và 2 số hạng tiếp theo  Bài giải:  Bảng giá trị ban đầu  k u   -5   -3   11   43   99   185   307   471  k u    2   14   32   56   86   122   164 2  k u    12   18   24   30   36   42 3  k u    6   6   6   6   6 Ta thấy hàng của   3  k u    không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba:      3   2   0 n u   an   bn   cn   d   a                (2) trong đó   n   là số thứ tự của các số hạng trong dãy. Tìm   , , , a b c d   như sau: Cho   1; 2;3; 4 n      thay vào công thức (2) ta được hệ phương trình sau: 5   5   1 8   4   2   3   7   3   2   0 27   9   3   11   26   8   2   16   5 64   16   4   43   63   15   3   48   1  a   b   c   d   a   b   c   d   a a   b   c   d   a   b   c   b a   b   c   d   a   b   c   c a   b   c   d   a   b   c   d                                                                                                                                                   3   5   1 n u   n   n            Hai số hạng tiếp theo là:   9   683 u      ;   10   949 u     L  i bình:   Công thức tìm được trên là không duy nhất vì hiển nhiên các số hạng đã cho cũng thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau:               2   5   5   .   1   2   3 n u   n   n   P n   n   n   n                      (Của ví dụ 1.1)                  3   5   1   1   2   3   4 n u   n   n   P n   n   n   n   n                         (của ví dụ 1.2) Với       P n   là một đa thức bất kỳ Vậy cách tìm trên đây là mới chỉ tìm được một dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn mà không tìm được tất cả các dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn.  Bài tập tương tự:  Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số 1)   8;14; 20; 26;32;.....   (Đs:   6   2 n u   n       ) 2)   1;   2;   2;1;7;16; 28; 43;61;...       (Đs:   2 3   15   7 2   2  n u   n   n          ) 3)   1;6;17;34;57;86;121;.....   (Đs:   2 3   4   2 n u   n   n          )

Cách tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi – Phạm Thị Thu Huyền

1     C T  NG QUÁT  DÃY S   2   2   ...   2          lim  x   *    n   n   n u   u   u      1 1  2   1 2  n n   n  u        TR  N DUY SƠN  Xuân kỷ sửu   2009   c t  ng quát dãy s    Tr  n Duy Sơn  2  ______________________________________________________________________________  The love makes us stronger  Giới thiệu  Dã y số là một phần   của Đại số cũng như Giải tích toán học .   Dãy số      quan trọng   trong toán học cũng như nhiề u lĩnh vực của đời sống .   Trong cá c kì thi HSG quốc gia ,  IMO (O lympic toán học quốc tế ) ,   hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học các bài  toán về dãy số được xuất hiện khá nhiều và đư    khó .   Các bạn học sinh cũng   ,   từ hồi tiểu học chúng đã được làm quen với các bài toán  về dãy số như :   tìm quy luật của một dãy số đơn giản ,...     thuyết dãy số mà chỉ là một chuyên đề nhỏ trình bày một  vấn đề nhỏ trong lĩnh vực dãy số .   Tập tài liệu này gần như một bài viết mở ,   như một cuộc trao   ,   trò chuyên ,   trình bày con đường đi tìm công thức tổng quát củ a một số dạng dãy số cơ bản ,  từ đó ứng dụng để giải một số bài toán .  Do đây là   chuyên đề    ,   nên nội dung cũng như cách trình bày trong tài liệu này  chắc chắn còn nhiều thiếu xót ,   rất mong bạn đọc thông cảm và có ý kiến đóng góp để bài viết     hoàn   thiện .   Mọi      kiên      góp ,   phản   hồi   xin   gử i   về      chỉ   hòm   thư :  ibelieveicanfly@ymail.com  Trần Duy Sơn  Xuân kỷ sửu   2009

Đi tìm công thức tổng quát của dãy số – Trần Duy Sơn

CHƯƠNG III – DÃY SỐ  BÀI 1: DÃY SỐ Câu 1.   [1D3-1] Cho dãy số       Un   với   1      n n Un   .Khẳng định nào sau đây là    ?  A.   Năm số hạng đầu của dãy là :   6 5 ; 5 5 ; 4 3 ; 3 2 ; 2 1          .  B.   5 số số hạng đầu của dãy là :   6 5 ; 5 4 ; 4 3 ; 3 2 ; 2 1         .  C.   Là dãy số tăng.  D.   Bị chặn trên bởi số 1.  Hướng dẫn giải  Chọn   B.  Thay   n   lần lượt bằng   1, 2, 3, 4, 5   ta được 5 số hạng đầu tiên là   1   2   3   4   5 ;   ;   ;   ; 2   3   4   5   6                 .  Câu 2.   [1D3-2] Cho dãy số       n u   với   2 1  n u   n   n        .Khẳng định nào sau đây là   sai ?  A.   Năm số hạng đầu của dãy là:   30 1 ; 20 1 ; 12 1 ; 6 1 ; 2 1   ;  B.   Là dãy số tăng.  C.   Bị chặn trên bởi số   1 2  M      .  D.   Không bị chặn.  Hướng dẫn giải  Chọn   B.  Ta   có                                     1   2   2 1   1   1   1   2   0 1   2   1   1   2 1   1  n   n u   u   n   n   n   n   n n   n n   n n   n                                                với 1 n      . Do đó       n u   là dãy giảm.  Câu 3.   [1D3-2] Cho dãy số       n u   với   1  n u   n      .Khẳng định nào sau đây là   sai ?  A.   Năm số hạng đầu của dãy là :   5 1 ; 4 1 ; 3 1 ; 2 1 ; 1         .  B.   Bị chặn trên bởi số   1 M      .C.   Bị chặn trên bởi số   0 M      .  D.   Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m   1 M      .  Hướng dẫn giải  Chọn   B.  Nhận xét :   1   1   1 1  n u   n               . Dãy số       n u   bị chặn dưới bởi   1 M      .  Câu 4.   [1D3-1] Cho dãy số       n u   với   .3 n n u   a    (   a   : hằng số).Khẳng định nào sau đây là   sai ?  A.   Dãy số có   1 1   .3 n n u   a          . B.   Hiệu số   1   3. n   n u   u   a          .  C.   Với   0 a      thì dãy số tăng   D.   Với   0 a      thì dãy số giảm.  Hướng dẫn giải  Chọn   B.  Ta có       1 1   .3   .3   .3   3   1   2 .3 n   n   n   n n   n u   u   a   a   a   a                       .  Câu 5.   Cho dãy số       n u   với   2 1  n a u   n      . Khẳng định nào sau đây là    ?  A.   Dãy số có   1   2 1 1  n a u   n          .   B.   Dãy số có :        1   2 1 1  n a u   n          .  C.   Là dãy số tăng.   D.   Là dãy số tăng.  Hướng dẫn giải  Chọn   B.  Ta có        1   2 1 1  n a u   n          .  Câu 6.   [1D3-2] Cho dãy số       n u   với   2 1  n a u   n      (   a   : hằng số). Khẳng định nào sau đây là   sai ?  A.   1   2 1 (   1)  n a u   n          .   B.   Hiệu           1   2   2 2   1 1   .   1  n   n n u   u   a   n   n                .  C.   Hiệu           1   2   2 2   1 1 .   1  n   n n u   u   a   n   n                .   D.   Dãy số tăng khi   1 a      .  Hướng dẫn giải  Chọn   B.

Bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có lời giải chi tiết

Trung Tâm Luyện Th i Đại Học Amsterdam  Chương III - Bài 1.   Phương Pháp Quy Nạp  1  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  3   PP QUY N  P   -   DÃY S    -   C  P S    C  NG, NHÂN  A.   L Ý   THUY    T  1. Nguyên lý quy n  p toán h  c:  Giả sử     P n   là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n   . Nếu cả hai điều kiện  i   và     ii   dưới       P n    n   m    (m là số tự nhiên cho trước).        i   P m       ii  V  i m  i s    t    nhiên , k   m    n  u     1 P k        Phương pháp ch  ng minh d  a trên nguyên lý quy n  p toán h  c g  i là phương pháp quy n  p  toán h  c( hay g  i t  t là phương pháp quy n  p).  Một cách đơn giản, ta có thể hình dun g như sau:  M  nh đ     1 n      nên theo k  t qu       bư  c 2,   nó cũng đúng v  i 1   1   2. n           Vì nó đúng v  i 2 n      nên l  i theo k  t qu       bư  c 2,   nó đúng v  i 2   1   3,... n           B  ng cách    y, ta có th    kh  ng đ  nh r  ng m  nh đ      i m  i s    t    nhiên * . n     2. Phương p háp gi  i toán.      ch  ng minh m  t m  nh đ      P n   ph    thu  c vào s    t    nhiên n     i m  i n   m    ( m   là s   t    nhiên cho trư  c), ta th  c hi  n theo hai bư  c sau:  Bư  c 1:   Ch  ng minh r  ng     P n    1 n      .  Bư  c 2:   V  i k   là m  t s    t    nhiên tùy ý, k   m    .     Gi    s      P n    n   k    , ta s    ch  ng minh     P n   cũng đúng khi 1 n   k       .     Theo nguyên lý quy n  p toán h  c, ta k  t lu  n r  ng     P n     i m  i s    t    nhiên . n   m   B. PHÂN D  NG VÀ CÁC BÀI T  P   MINH H  A.  DẠNG 1.   CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC  1.   Bài tập minh họa:   Bài tập   1.   Chứng minh rằng với mọi số nguyên n   , ta có:  a).           2  1.4   2.7   3   1   1 n   n   n n               b).                    3 1   1   1 1.2.3   2.3.4   1   2   4   1   2  n n n n   n   n   n                     L  i gi  i.  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................   À   I 1.   PH  NG PH  P QUY N  P TOÁN H  C

Bài tập phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Giáo viên có nhu c  u s    h  u file word vui lòng liên h  . Face: Tr  n      . S  T: 0834332133  Trang 214  CH  NG 3. DÃY S  - C  P S    C  NG – C  P S    NHÂN BÀI 1. PH  NG PHÁP QUY N  P TOÁN H  C A. KI  N TH  C C    B  N C  N N  M     ch  ng minh nh  ng m  nh      liên quan    n s    t    nhiên   *  n         là      i m  i   n   mà không th   th    tr  c ti  p thì có th    làm nh    sau:     B  c 1. Ki  m tra r  ng m  nh         i   1. n   =     B  c 2. Gi    thi  t m  nh         i m  t s    t    nhiên b  t kì   1 n   k =      (g  i là gi    thi  t quy n  p), ch  ng minh r  ng nó c  ng      i   1. n   k =   +     ng pháp quy n  p toán h  c, hay còn g  i t  t là ph  ng pháp quy n  p. M  t cách    n gi  n, ta có th    hình dung nh    sau: M  nh              1 n   =   nên theo k  t qu      b  c   2,   nó c  ng      i   1   1   2. n   =   +   =   Vì nó      i   2 n   =   nên l  i theo k  t qu       b  c   2,   nó     v  i   2   1   3,... n   =   +   =   B  ng cách    y, ta có th    kh  ng    nh r  ng m  nh         i m  i s    t    nhiên *   . n        Chú ý:   N  u ph  i ch  ng minh m  nh      là      i m  i s    t    nhiên   n   p    (   p   là m  t s    t    nhiên) thì:     B  c 1, ta ph  i ki  m tra m  nh         i   ; n   p =     B  c 2, gi    thi  t m  nh         i s    t    nhiên b  t kì   n   k   p =      và ph  i ch  ng minh r  ng nó c  ng     i   1. n   k =   +  B. PHÂN LO  I VÀ PH  NG PHÁP GI  I BÀI T  P  D  ng 1. Ch  ng minh    ng th  c  Ví d    1 .   Ch  ng minh r  ng:                                   2   * 1.2   2.5   3.8   ...   n 3n   1   n   n   1 ,vôùi n   N   (1)  L  i gi  i     B  c 1: V  i n=1, v    trái b  ng 1.2=2, v    ph  i b  ng 2. h    th  c (1)         B  c 2:    t v    trái b  ng S   n   . Gi    s    h    th  c (1)      i   n   k   1       , t  c là :                                     2 k 2 k 1 S   1.2   2.5   ...   k(3k   1)   k (k   1)( giaû thieát quy naïp) Ta phaûi chöùng minh raèng (1) cuõng ñuùng vôùi n=k+1, töùc laø : S   k   1   k   2 Thaä vaäy, töø giaû thieát quy naïp ta coù:                                                                                                 2 k 1   k 2 2 * S   S   k   1   3 k   1   1   k   k   1   k   1   3k   2 (k   1)(k   3k   2)   k   1   k   2 Vaäy heä thöùc (1) ñuùng vôùi moïi n   N  D  ng 2. Ch  ng minh b  t    ng th  c  Ví d    1.   Ch  ng minh r  ng v  i m  i   n   3    ta có:   n   2 3   n   4n   5          (1)  L  i gi  iGiáo viên có nhu c  u s    h  u file word vui lòng liên h  . Face: Tr  n      . S  T: 0834332133  Trang 215          k   2 Vôùi n=3, veá traùi baèng 27, coøn veá phaûi baèng 26. Baát ñaúng thöùc (4) ñuùng. Giaûi söû baát ñaúng thöùc (4) ñuùng vôùi n=k   3. töùc laø: 3   k   4k   5.   (1') Ta phaûi chöùng minh noù cuõng ñuùng vôùi n=k+                                                                                                     2 k+1 2 k 1   2   2 2 2   k 1 1, töùc laø: 3   k   1   4 k   1   5 Thaät vaäy, nhaân hai veá cuûa baát ñaúng thöùc (1') vôùi 3 ta coù: 3   3k   12k   15   k   1   4 k   1   5   2k   6k   5 Vì 2k   6k   5   0 neân   3   k   1   4 k   1   5   D  ng 3. Ch  ng minh m  t tính ch  t  Ví d  .   Ch  ng minh r  ng:       7   * n   n chia heát cho 7 vôùi moïi n   N  Gi  i                                                                                    7 n 1 7 k 7   7   6   5   4   3   2 k+1 7   6   5   4    n   n. Khi n=1 thì A   0 chia heát cho 7 Giaû söû ñaõ coù: A   k   k   7 Thaät vaây, aùp duïng coâng thöùc nhò thöùc Niu-ton ta coù: A   k   1   k   1   k   7k   21k   35k   35k   21k   7k   1   k   1 k   k   7 k   3k   5k   5k                    3   2 7 k   k+1 7   * 3k   k Theo giaû thieát quy naïp thì A   k   k chia heát cho 7, do ñoùA   7 Vaäy n   n chia heát cho 7 vôùi moïi n   N  D  ng 4. M  t s    bài toán khác  Ví d  .   Ch  ng minh r  ng:   n+1 2   2   ...   2   2cos 2               Gi  i         n k   k+1  Khi n=1, veá traùi baèng   2, veá phaûi baèng 2cos   2; heä thöùc (1) ñuùng 4 Giaû söû heä thöùc (1) ñuùng vôùi n=k   1, töùc laø C   2cos 2 ta phaûi chöùng minh:                                      k+1   k+2 k+1   k   k 1 2 k   2   k   2   k   2 C   2cos 2 Thaät vaäy, töø giaû thieát quy naïp ta coù: C   2   C   2   2 cos 2 4 cos   2 cos   ( vì cos   ) 2   2   2 Vaäy heä thöùc (1) ñaõ ñöôïc chöùng minh

Phân loại và phương pháp giải bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

M    t s    ph  ng pháp xác      nh công th  c t    ng quát c    a dãy s   - 1 - S    GIÁO D  C &      O    NG NAI Tr  ng THPT BC Lê H  ng Phong Giáo viên th  c hi  n NGUY  N T  T THU N  m h  c: 2008 – 2009M    t s    ph  ng pháp xác      nh công th  c t    ng quát c    a dãy s   - 2 - M  C L  C M  C L  C.................................................................................................................................... 1 L  I M  U.............................................................................................................................. 3 I. S    D  NG CSC – CSN      XÂY D  NG CÁCH TÌM CTTQ C  A M  T S    D  NG DÃY S    CÓ CÔNG TH  C TRUY H  I    C BI  T. ............................................................ 4 II. S    D  NG PHÉP TH    L  NG GIÁC      XÁC    NH CTTQ C  A DÃY S  ........... 24 III.    NG D  NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C  A DÃY S    VÀO GI  I M  T S    BÀI TOÁN V    DÃY S    - T    H  P............................................................................................... 30 BÀI T  P ÁP D  NG ................................................................................................................. 41 K  T LU  N – KI  N NGH  ...................................................................................................... 45 TÀI LI  U THAM KH  O ........................................................................................................ 46

Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số – Nguyễn Tất Thu

Bài tập bổ sung chươn g III -   DÃY SỐ   -   CẤP SỐ CỘNG   -   CẤP SỐ NHÂN  Sưu tầm : Nguyễn Đình Sỹ     BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG   -   CẤP SỐ NHÂN  I. DÃY SỐ  1.   viết số hạng tổng quát của dãy số tự nhiên , mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 3  còn dư 2 .  2.   Dãy số n u    1   1 3,   2 n   n u   u   u        .   Tìm số hạng  tổng quát của dãy số đó và tích 4 số hạng đầu của dãy số .  3.   Tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bằng công thức quy nạp :  a. 1   1  1 3,   2   2  n   n u   u   u          b. 1   1 ,   n   n u   a u   a   bu           ( Với a,b là hằng số )  4.   Các dãy số sau có đơn điệu   không ?  a. 2  1 1  n u   n        b. 2   1 2  n n   n  u       c. 1 2  n n u                    5.   Với giá trị nào của a,b ,dãy số : 2 1  n  an u   bn         là một dãy số không giảm ,tăng?giảm?  6.   Trong các dãy số sau , dãy số nào bị chặn ? B   a. 2   1 n u   n       b. 2  1  n u   n     c.      1 1  n u   n n       d. 1  3.2 n n u        e. 1 3  n n u                    7.   Cho dãy số : 1   2 ; n   n  n   n u   v n   n            . Tính :        ;   .   ;   n n   n   n   n n  u u   v   u v   v                  II. CẤP SỐ CỘNG .  1.   Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Tìm ba góc đó ?  2.   Chứng minh tam giác ABC   có ba góc với : cot   , cot   , cot 2   2   2  A   B   C   theo thứ tự đó lập  thành một cấp số cộng thì ba cạnh theo thứ tự đó cũng   tạo thành một cấp số cộng ?  3.   Số hạng thứ 2 và số hạng thứ 7 của một cấp số cộng có tổng bằng 92, số hạng thứ  tư và số hạng thứ 11 có tổng bằng 71 . Tìm 4 số hạng đó ?  4.   Một cấp số cộng có 11 số hạng . Tổng các số hạng đó bằng 176 . Hiệu số hạng  cuối và   số hạng đầu là 30 . Tìm cấp số đó ?  5.   Bốn số hạng lập thành một cấp số cộng . Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình  phương của chúng bằng 166. Tìm 4 số đó ?  6.   Năm số lập thành một cấp số cộng . Biết tổng S , tích P của chúng . Tìm năm số đó  7 . Bốn số   nguyên lập thành một cấp số cộng . Tổng của chúng bằng 20, tổng các  ngịch đảo của chúng bằng 25 24   . Tìm bốn số đó ?  8.   Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau : hàng thứ nhất có 1 cây ,  hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ b a có 3 cây   , v.v...Hỏi có bao nhiêu hàng ?  9.   Xác định cấp số cộng sao cho tổng n số hạng đầu bằng n+1 lần một nửa số hạng  thứ n  III. CẤP SỐ NHÂN  1.   Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất 1   2 u      , công bội q bằng 3, và 5 số hạng . Tìm  số   hạng cuối cùng và tổng của 5 số hạng đó ?Bài tập bổ sung   và hướng dẫn giải phần :   BÀI TẬP TỔNG HỢP  Sưu tầm : Nguyễn Đình Sỹ    Trang   2  2.   Trong một cấp số nhân có 9 số hạng , biết số hạng đầu 1   5 u      và số hạng cuối 9   1280 u     . Tìm công bội q và tổng S các số hạng ?  3.   Tìm số hạng của một cấp số nhân :  a. Có 5   số hạng mà số hạng đầu là 3 , số hạng cuối là 243 ?  b. Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243 và số hạng cuối là 1 ?  c. Trong cấp số nhân , cho q=1/4 , n=6, và S=2730 . Tìm 1   6 , u   u   .  4.   Tìm bốn góc của một tứ giác , biết các góc đó lập thành   một cấp số nhân và góc  cuối bằng 9 lần góc thứ 2   ?  5 . Tổng ba số hạng của một cấp số nhân là 248 , hiệu của số hạng cuối và số hạng    6 . Chứng minh rằng nếu ba cạnh của một tam giác lập thành một cấp số nhân thì  công bội của   cấp số đó ắt phải nằm giữa     1   5   1 2      và     1   5   1 2      .  7 . Tính tổng các cạnh của một hình hộp chữ nhật , biết rằng thể tích của chúng bằng 3  a  , diện tích toàn phần của nó bằng 2  2 ma   và các cạnh lập thành một cấp số nhân ?  IV. BÀI TẬP TỔNG HỢP  1 . Giả sử 1   2   1   2 ,   ,...   .   ....   1 n   n x   x   x   R   x x   x           . Chứng minh 1   2   ...   n x   x   x   n            2 . Chứng minh : 2   2  n n   n  a   b   a   b                   với : *  0,   0, a   b   n   N         3 . Xét tính bị chặn và tính đơn điệ u của các dãy số sau ?  a. 2   1  n  n u   n      b.       1   1 1   sin  n n u   n         4.   Cho một d  y số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,...... Hiệu của hai số hạng liên  tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21..., 7n. số 35351 là số h   mấy của cấp số đã cho ?  5 . Cho phương trình :     4   2  3   24   26   0 x   x   m x   n                   .  Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt 1   2   3 ,   , x   x   x   lập thành một cấp số  cộng ?  6.   Tìm m để phương trình :           2 4   2  3   5   1   0 x   m   x   m                có bốn   nghiệm lập thành một  cấp số cộng ?  7 . Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân . Chứng minh  rằng tam giác ABC có hai góc không quá 0  60   ?  8.   Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 4 16 9   ,    cộng .  9 .   Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội q =1/4 số hạng thứ nhất , tổng của hai số  hạng đầu bằng 24 . Tìm cấp số nhân đó ?  10 . Xen v   11 . Tính tổng :  S= 2   2   2  1   1   1 2   4   ...   2 2   4   2  n n                                                                   12 . Với giá trị nào của a   , ta có thể tìm được các giá trị của x để các số :

30 bài tập cấp số cộng và cấp số nhân nâng cao – Nguyễn Đình Sỹ

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1  A. PHÉP ĐẾM Quy tắc cộng, quy tắc nhân và hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp     Quy tắc nhân : Để hoàn thành công việc cần chia ra   k   giai đoạn      Sử dụng   quy tắc nhân .     Quy tắc cộng : Để hoàn thành công việc bằng nhiều   trường hợp      Sử dụng   quy tắc cộng .     Hoán vị : Xếp   n   phần tử theo thứ tự      Sử dụng hoán vị   !   (   1)(   2)...3.2.1 n P   n   n n   n               Tổ hợp : Chọn   k   phần tử trong   n   phần tử tùy ý      Sử dụng tổ hợp   ! (   )!. !  k n n C   n   k   k          Chỉnh hợp : Chọn   k   phần tử trong   n   phần tử và xếp      Sử dụng chỉnh hợp   ! (   )!  k n n A   n   k       CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA Câu 1.   Từ một nhóm học sinh gồm   6   nam và   8   nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh?  A.   14   .   B.   48   .   C.   6   .   D.   8   .  Câu 2.   Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?  A.   2 10 C   .   B.   2 10 A   .   C.   2 10   .   D.   10 2   .  Câu 3.   Số cách chọn   2   học sinh từ   7   học sinh là  A.   7 2 .   B.   2 7 A   .   C.   2 7 C   .   D.   2 7   .  Câu 4.   Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là  A.   2 5   .   B.   5 2   .   C.   2 5 C   .   D.   2 5 A   .  Câu 5.   Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là  A.   2 8 C   .   B.   2 8   .   C.   2 8 A   .   D.   8 2 .  Câu 6.   Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là  A.   2 6 A   .   B.   2 6 C   .   C.   6 2   .   D.   2 6   .  Câu 7.   Trên mặt phẳng cho   2019    và điểm cuối được lấy từ   2019     A.   2019 2   .   B.   2 2019   .   C.   2 2019 C   .   D.   2 2019 A   .  Câu 8.   Trong hộp có   4   viên bi xanh,   5   viên bi đỏ,   6   viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp   3   viên bi. Số cách chọn là  A.   9   .   B.   3   3   3 4   5   6 C   C   C       .   C.   3 15 C   .   D.   3 15 A   .  Câu 9.   Một tổ có   12   học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn   2   học sinh trong tổ làm nhiệm vụ trực nhật.  A.   132   .   B.   66   .   C.   23   .   D.   123   .  Câu 10.   Lớp   11 A   có   32   học sinh, giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra   3   học sinh trong đó một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó, một bạn làm sao đỏ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn.  A.   6   .   B.   3   .   C.   3 32 C   .   D.   3 32 A   .  Câu 11.   Có bao nhiêu cách sắp xếp   5   học sinh thành một hàng dọc?  A.   120   .   B.   25   .   C.   15   .   D.   10   .  Câu 12.   Cần chọn   4   người đi công tác trong một tổ có   30   người, khi đó số cách chọn là:  A.   4 30 C   .   B.   4 30 A   .   C.   4 30   .   D.   30 4   .  Câu 13.   Cho tập hợp   A   có   20   phần tử. Hỏi   A   có bao nhiêu tập con gồm   6   phần tử?  A.   6 20 C   .   B.   20.   C.   6 P   .   D.   6 20 A   .  PHÉP ĐẾM - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Vấn đề 1NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Câu 14.   Một hộp chứa   10   quả cầu phân biệt. Số cách lấy ra từ hộp đó cùng lúc   3   quả cầu là:  A.   720   .   B.   120   .   C.   3 10   .   D.   10 3   .  Câu 15.   Giả sử ta dùng   6   màu để tô cho   4   nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là  A.   4 6   . A   B.   10   C.   4 6   . C   D.   4 6 . Câu 16.   Tập hợp M có   12   phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của   M   là  A.   8 12 A   .   B.   2 12 A   .   C.   2 12 C   .   D.   2 12   .  Câu 17.   Trong một hộp bánh có   6   loại bánh nhân thịt và   4   loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra   6   bánh để phát cho các em thiếu nhi?  A.   6 10   . A   B.   6!.   C.   6 10 .   D.   6 10   . C Câu 18.   Có bao nhiêu cách trao 4 phần quà khác nhau cho 4 học sinh?  A.   8   .   B.   256   .   C.   16   .   D.   24   .  Câu 19.   Cho   3   cái quần và   4   cái áo. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cái quần hoặc một cái áo từ số quần   A.   3   4.    B.   2 7   . A   C.   2 7   . C   D.   3.4. Câu 20.   Từ một lớp có 14 học sinh nam và 16 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh?  A.   224   .   B.   16   .   C.   14   .   D.   30   .  Câu 21.   Một lớp có   15   học sinh nam và   20   học sinh nữ có khả năng như nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn   3   học sinh làm ban cán sự lớp?  A.   3 35   . A   B.   3 15   . C   C.   3 20   . C   D.   3 35   . C Câu 22.   Nam muốn qua nhà Lan để cùng Lan tới trường. Từ nhà Nam tới nhà Lan có 3 con đường, từ nhà Lan đến trường có 5 con đường. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà đến trường?  A.   8   .   B.   243   .   C.   15   .   D.   10   .  Câu 23.   Với   k   và   n   là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn   k   n    . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?  A.        ! !   !  k n n A   k   n   k        .   B.   ! !  k n n A   k     .   C.        ! !  k n n A   n   k        .   D.       !   ! !  k n k   n   k A   n      .  Câu 24.   Có bao nhiêu số tự nhiên   n   thỏa mãn   3   2 9   1152 n   n A   A       ?  A.   0.   B.   1.   C.   2   .   D.   3   .  Câu 25.   Tìm giá trị   x         thỏa mãn   1   2   3 1   2   1 3   . x   x   x C   C   C             A.   12 x      .   B.   9 x      .   C.   16 x      .   D.   2 x      .  Câu 26.   Tìm giá trị   n         thỏa mãn   2   1 .   48. n n   n A C        A.   4. n      B.   3. n      C.   7. n      D.   12. n     Câu 27.   Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ?  A.   10 P   .   B.   1 10 C   .   C.   1 10 A   .   D.   10 10 C   .  Câu 28.   Tính số các chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử ?  A.   21   .   B.   2520   .   C.   5040   .   D.   120   .  Câu 29.   Cho tập       1;2;3; 4;5;6 A      , có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử của tập hợp   A   ?  A.   3 6 A   .   B.   6 P   .   C.   3 P   .   D.   3 6 C   .  Câu 30.   Từ các chữ số   1;2;3;4;5   có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?  A.   120   .   B.   5   .   C.   625   .   D.   24   .  Câu 31.   Cho tập hợp   M   có   30   phần tử. Số tập con gồm   5   phần tử của   M   là  A.   4 30 A   .   B.   5 30   .   C.   5 30   .   D.   5 30 C   .

Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân